為此，研究人員提出了借助高斯括號法以及節(jié)點(diǎn)像差理論設(shè)計(jì)離軸消遮攔反射系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的方法，采用二次曲面（橢球面、雙曲面、拋物面）搭建離軸反射系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的方法，結(jié)合共焦二次曲面和像差理論設(shè)計(jì)自由曲面離軸反射系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的方法，基于像差理論的自由曲面成像系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與潛在性能評價(jià)方法等。

3）基于機(jī)器學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)方法

近年來，人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，包括光學(xué)和光電子領(lǐng)域。如果將機(jī)器學(xué)習(xí)與人工智能和光學(xué)設(shè)計(jì)，尤其是自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合起來，開展基于機(jī)器學(xué)習(xí)的自由曲面成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)，可以有效降低設(shè)計(jì)難度、減少人工參與，產(chǎn)生的接近或者超過人工設(shè)計(jì)水平的系統(tǒng)有重要的應(yīng)用前景。

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)機(jī)器學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)自由曲面離軸反射系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)框架，該方法有效降低了自由曲面成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)對人工參與和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的依賴，光學(xué)設(shè)計(jì)初學(xué)者也可以上手設(shè)計(jì)。

2、優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

除了“初始結(jié)構(gòu)無”的問題，自由曲面成像系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)還面臨著“優(yōu)化設(shè)計(jì)難”的問題。典型的優(yōu)化策略大致總結(jié)于圖2。

圖2 自由曲面成像系統(tǒng)優(yōu)化策略舉例

整體上來講，自由曲面成像系統(tǒng)的優(yōu)化應(yīng)該遵循一種漸進(jìn)式的策略，這也符合光學(xué)設(shè)計(jì)的一般思路。北京理工大學(xué)程德文教授等提出了自由曲面成像系統(tǒng)逐步逼近優(yōu)化策略，并采用該方法成功設(shè)計(jì)了像質(zhì)良好的自由曲面棱鏡式頭戴顯示器。

除了面型升級方式，系統(tǒng)優(yōu)化過程中也可以采用其他的面型升級策略。曲面階數(shù)越高，對應(yīng)的像差階數(shù)越高。該策略對于使用自由曲面項(xiàng)中心區(qū)域與使用自由曲面項(xiàng)的離軸區(qū)域兩種情況均適用?；诖私Y(jié)論可以使用漸進(jìn)式系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)策略指導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化：設(shè)計(jì)過程中，將描述面型參數(shù)的變量由低階到高階逐步加入到優(yōu)化過程中。

自由曲面的像差理論也可以被用來指導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化過程中有針對性的像差校正。此種設(shè)計(jì)思路也可被用于自由曲面相機(jī)電子取景器、自由曲面成像光譜儀等系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

對于成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)，像面各視場成像質(zhì)量的平衡非常關(guān)鍵。這可以通過在優(yōu)化過程中不斷調(diào)整各抽樣視場子午和弧矢方位的權(quán)重值來實(shí)現(xiàn)。但現(xiàn)有光學(xué)設(shè)計(jì)軟件還存在不會自動改變視場、方位的權(quán)重值等方面局限。對此，程德文教授提出了成像系統(tǒng)像面整體像質(zhì)的自動平衡優(yōu)化方法，大大提高光學(xué)系統(tǒng)后期優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，減小對設(shè)計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)的依賴，對需要抽樣大量視場的自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的作用尤其顯著。

完成上述優(yōu)化策略還需要借助于用于將評價(jià)函數(shù)最小化的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法。成像系統(tǒng)的優(yōu)化一般基于多參數(shù)優(yōu)化。主流的優(yōu)化算法包括阻尼最小二乘法、適應(yīng)法，以及商用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中提供的一些其他算法，如CODE V的全局優(yōu)化以及階梯優(yōu)化，OpticStudio(Zemax)的正交下降優(yōu)化和錘形優(yōu)化等。

除了優(yōu)化算法和策略之外，自由曲面成像系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)還依賴一些其他關(guān)鍵因素。其中，合理建立優(yōu)化過程中使用的約束條件非常重要。例如，系統(tǒng)的像面大小和系統(tǒng)畸變可以通過約束光線實(shí)際像點(diǎn)位置進(jìn)行控制，焦距可以借助于ABCD矩陣進(jìn)行計(jì)算并控制。此外，對于離軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)，需要使用特殊的結(jié)構(gòu)約束條件來消除光線遮攔以及曲面之間的相互干涉，這可以通過控制兩點(diǎn)之間的距離或特定點(diǎn)到特定光線的距離實(shí)現(xiàn)。

三、自由曲面成像系統(tǒng)的應(yīng)用

近十年來，自由曲面成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用成為了應(yīng)用光學(xué)界的研究熱點(diǎn)，相關(guān)技術(shù)得到了快速發(fā)展。但事實(shí)上自由曲面成像系統(tǒng)并不是最近才出現(xiàn)的。早在1959年，Kanolt發(fā)明了一個(gè)漸變光焦度眼鏡的美國專利。此專利第一次給出了自由曲面的具體解析表達(dá)式與各項(xiàng)系數(shù)。

圖3 PolaroidSX-70相機(jī)

自由曲面在商用成像系統(tǒng)的最早應(yīng)用是1972年Baker設(shè)計(jì)的 PolaroidSX-70單反相機(jī)（圖3）。為了保證圖像清晰，整個(gè)系統(tǒng)使用了兩個(gè)自由曲面光學(xué)元件來校正由于偏心傾斜元件引入的像差。1986年，Polaroid在推出的“Spectra”相機(jī)中引入了一對名為“Quintics”的8階自由曲面。1992年，Polaroid在名為“Captiva”的相機(jī)的取景器中也引入了自由曲面元件。

1、自由曲面離軸反射式成像系統(tǒng)

相對于球面或者非球面，自由曲面引入的像差形式與曲面偏心傾斜引入的像差形式完全對應(yīng)。因此，自由曲面特別適用于離軸反射式系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。自由曲面在空間光學(xué)離軸反射系統(tǒng)中的最早應(yīng)用是在COSTAR（corrective optics space telescope axial replacement）系統(tǒng)中。此系統(tǒng)于1993年隨第一次維護(hù)改進(jìn)任務(wù)被安裝到了Hubble望遠(yuǎn)鏡中，并顯著地改善了其像質(zhì)。

此外，自由曲面在大視場反射式成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)中有重要應(yīng)用。還可將自由曲面運(yùn)用到成像光譜儀設(shè)計(jì)中，能夠有效提升系統(tǒng)成像質(zhì)量，并減小系統(tǒng)的體積。